应亦涵:数学中的矩阵是什么意思,有什么用?

  又轮到我这个十八线科普网红:超模君出场了。

  在《线性代数》书中,行列式和矩阵总是如影随行,而且两个确实长得很相似,所以也经常有人混淆两者。

  矩阵:有勾必火

  虽然这个时代很看颜值(矩阵有勾,确实比较火一点),不过超模君可不是这么肤浅,超模君还是很看重内涵。

  行列式:是指将一些数据建立成计算方阵,经过规定的计算方法最终得到一个数。换句话说,行列式代表的是一个值。

  而矩阵则不同,矩阵表示的是一个数表,是一个数据的集合体。换句话说,矩阵更神似于一张n行m列的数字表格,或者Excel表。

  最近这几天,京西旅馆的大厨还没到位,采购蔬菜的事情还是落在了小天的身上。

  这不,精打细算(抠门)的刘强西就派小天到村头菜市场、村尾王大妈菜摊和隔壁村老王农场去调研不同菜品的价格,说是不能乱花一分钱。。。

  小天分别去三个地方分别调研了三种菜品,发现价格真有不同。。。

  而之后小天便将得到的数据用矩阵表示出来。

  刘强西看到小天提供的矩阵:这是什么鬼,小天,你干嘛用矩阵来表示呀?!

  小天:因为矩阵也是一种表示多维度数据的方式呀!

  刘强西:但这个比Excel表难看,不喜欢,而且没什么用。

  小天此时露出鄙夷的眼光:刘boss,你竟然说矩阵没什么用(这个也不怪你,就是现在还有人说数学没什么用),其实之所以做成矩阵的形式,就为了四个字:便于计算。

  我记得上一次你还跟我说过三种蔬菜的需求量,那我们将需求量做成需求矩阵B:

  那我们就可以得到三个地方的价格(价格矩阵C):

  如果此时我们再考虑距离因素和时间成本,那也就是增加距离矩阵D和时间矩阵E,最后再用上我们最简单的运算法则:加减乘除。

  那这样的话,我们就可以对三个购菜点进行综合评估,选出最好的供应商了。

  刘强西:小天越来越聪明了,讲的很有道理。

  小天:我一直都很聪明。

  据知情人士爆料,矩阵最开始是用于线性变换。

  那什么是线性变换?

  向量空间V到其自身的映射称为V的变换,V到V的线性映射称为V的线性变换,简言之,线性映射就是保持线性关系的映射。

  超模君,咱能好好得讲话吗?

  行行行,就来!从最简单的例子来说,假设X是(a, b, c)这样的数字向量,那么我们经常讲的线性方程组就是对于这个向量做变换,而矩阵乘法就是用来接线性方程组的。

  那当我们把X看成函数,我们常讲的微分运算也是一种线性变换,而此时的矩阵乘法则是被用来解微分方程。

  学过气象的同学应该对矩阵也很了解,因为他们经常会用矩阵运算来对未来的天气进行预测。

  每一天的天气状况在观测后就会是一个具体值,而在观测到之前,我们可以把它想象成一个概率的向量(比如今天的气温22°C的概率是85%,23°C的概率是10%,24°C的概率是5%)。

  然后呢,假设每一天的天气和前一天的天气构成马尔可夫链:

  马尔可夫链(Markov Chain),描述了一种状态序列,其每个状态值取决于前面有限个状态。马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列。

  也就是说明天的天气是今天天气的线性变换,所以矩阵的乘法可以帮助你预测n天后的天气。

  从刚才讲的几个例子,各位模友可能会发现:

  好像很多东西都是线性变换啊?

  原因还简单,以为线性关系足够简单,就比如牛顿定理F=ma。

  事实上,无论是大数学家还是大物理学家,每个人都希望用最简单的方式去解决问题,还有在我们的数学建模竞赛中,一种简单明了的算法总是会比各种复杂算法更容易让人接受。

  而这种对于线性关系的追求,其实也是能力所限制,当我们不知道所研究的对象服从什么规则的时候,我们通常会假设这个现象是服从线性关系(不因为别的,还是因为简单)。

  如果太复杂了的怎么办,我们也总是会在复杂的内部关系里面找出线性关系的存在。

  你看,线性关系的基础就是ax+b,没错,这里的运算规则就只有乘法和加法(相信小学就会了)。

  矩阵的运算其实就是简单的乘法和加法,而矩阵的出现,也是为了让我们能更好地处理更多维度的数据情况。

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